一、问题提出的背景
几何主要研究物体的位置、形状和大小的改变等空间的结构和性质。国际数学教育委员会认为：“几何作为一种理解、描述和联系现实空间的工具,也许是数学中最直观、具体和真实的部分”。古希腊著名的哲学家柏拉图同时是一个伟大的教育家，十分重视几何学科的教育。他甚至在其创办的柏拉图学院的门前树立了一块“不懂几何者不得入内”的牌子。几何学是中学阶段一门重要的基础教学课程，在培养学生严谨的数学精神、缜密的推理能力、科学的世界观和理性精神等方面一直有着无可取代的独特作用。
但遗憾的是，几何学习对不少初中生而言可谓爱恨交加——有些是对概念定理的理解流于文字表面，会背会默但不知如何在实际问题中应用、有些受制于空间想象能力的不足常常碰壁。图形运动问题无疑就是难点中的难点：如何正确寻找到图形在翻折平移旋转后的落点位置；如何将学习过的公理定理灵活应用于千变万化的具体问题中；如何在一个线条繁杂的几何图形中寻找到熟悉的基本结构从而找到问题的突破口等等，对充实忙碌的初三考生而言都是一重又一重不小的考验。或者由于之前较为薄弱的基础积累、或者由于老师的讲授用语艰深节奏过快未能有效理解、或者由于努力一段之后看不到所谓的进步……相当一批孩子在图形运动问题面前心生惧意，自己给自己贴上一个能力不足的标签，逐渐放弃了这一类问题的主动探究。
二、基于范希尔理论的专题复习设计意图
上世纪50年代，荷兰的范希尔夫妇划分的几何思维理论对几何课程具有重要的指导意义，他们把几何思维分成以下几个水平：0-水平（前认知阶段Former Cognitive)：在这个阶段的学生只能识别一些常见的图形，能区别曲线和直线。1-水平（视觉 Visually)：学生只能够从整体上对几何图形进行感性的认识,根据图形的形状来进行分类,对性质还不了解。 2-水平（分析Analysis)：学生能够认识图形的特征,并能通过性质来区分不同图形，但不能够进行演绎推理。3-水平（非形式化的演绎Informal Deduction)：学生能够理解图形特征与图形性质之间的关系,利用性质、公式和定理进行演绎推理，但是不能做多步的推理论证。4-水平（形式化的演绎Formal deduction)：处于该水平的学生逻辑思维能力明显提高，对一道几何题能用不同的方式来解决，能对问题进行合理的猜测，然后正确证明。5-水平（严密性Rigour)：处于这个层次的学生能够进行严格的几何推理,能够理解不同几何系统的差异。
根据克劳雷（Crowley,1987）的说法，范希尔的几何思维水平有以下五点特征：1、次序性（学生几何思维水平的发展是循序渐进的，要在特定的水平顺利发展，必须掌握前一个水平的各个概念与策略）2、进阶性（学生几何思维水平的提升是经由教学而不是随着年龄成长或心理成熟自然而然形成的，由上一个水平进入下一个水平并非一蹴而就）3、内隐性及外显性（某一个水平的内隐性质成为下一个水平的外显性质）4、语言性（每一个层次都有其独特的阶段性语言符号）5、不适配性（如果学生的思维处于一个水平而教师的教学处于另一个水平，那么将不可能取得预期的教学效果。尤其当教师的教材内容、教具选择及词汇使用均属于较高层次时，学生将无法理解、思考其过程与结果）此外，水平的不连续性是范希尔理论的另一个显著特点。根据劳瑞和皮格（Lawrie＆Pegg,1997）的观点，学生从一个水平向另一个水平的过渡必须经历一个“思维的危机（crisis of thinking）”。
范希尔夫妇认为各水平间的学习成长历程，主要来自教学的组织和方法以及教材的选择和使用，并提出了5个教学阶段——阶段1、学前咨询（了解学生如何理解指导语，帮助学生理解要学习的课题）阶段2、引导定向（为学生仔细安排活动顺序并逐渐熟悉这一结构特性）阶段3、阐明（学生明确词汇意义，表达对内在结构的看法，形成学习的关系系统）阶段4、自由定向（学生自由探索，在寻找方法和解决问题的过程中获得经验）阶段5、整合（学生回顾自己的方法并形成观点，对象和关系被统一内化进一个新的思维领域，教师对学生的理解做一个全面、不提出新观点的评述）
两年前的九月我主动请战接下了这个特殊的班级。开始的两个月充满疲惫和挫折——由于学籍等原因转学后只剩下11人；数学成绩稳定在九校质量监控四十几个班级的最后一名；教室里空落落的，课堂上孩子们“乖巧”地坐着，木然的脸庞让我怀疑他们似乎关上了耳朵，有一两个还时不时地打盹；翻开永远收不齐的作业，除了两三本之外，多数都是可以预见的大片空白或是潦草的几笔；阶段练习试卷登分时红笔是绝对主角，四十几分算很不错的。除积极纠正同学们不良的学习习惯外，针对孩子们基础薄弱的客观情况，基于范希尔理论我利用课外时间逐一对症下药，遇到学生理解困难的环节打比方举例子，尽可能回避那些艰涩的专有名词。在备课的过程中我尽可能多地做换位思考——猜测学生的理解难点和可能遇到的其他问题；在课堂设计中有意识地多留些时间段给大家自学，并在讲解之前先请他们提出自学中的疑惑；鼓励、帮助其他学生运用所学的各种知识解决这些问题。请这些学生走上讲台发言颇有些艰难，启动期以教师点名为主，渐渐地孩子们适应了这样的氛围与节奏。学习到特殊的四边形章节时，由于是几何内容，代数基础不理想的孩子在这里暂时回避了计算能力欠缺所带来的拖累感，平行四边形、长方形、菱形、正方形等学生身边熟悉的图形一定程度化解了抽象思维的难度，在两位领头羊的带领下越来越多的同学兴致勃勃地参与到“一题多解”的环节中来，说一说自己的理由、比一比谁的方法更优，课堂渐渐热闹了起来。
初三的图形运动专题复习对这个班级的孩子来说是个不小的挑战。在点燃大家的斗志后，我继续以“搭设扶梯小步稳走”作为指导思路——前期带领同学们做充分的复习准备工作，从回顾梳理平移、旋转、翻折这三类运动前后的图形特点开始，引导他们正确理解平面图形的平移、旋转、翻折的专有名词、意义及其相关性质；与课题组一同将部分图形运动问题作适当修改，增加一些过程问题以便引导学生关注、发现平移、翻折、旋转前后图形中边角蕴藏的等量关系，从而找到解决问题的突破口。从作业反馈来看，相当一部分同学对于此类问题有了入手的方法，取得了预期的效果。
三、学生作业反馈中表现出的问题：
但作业反馈中也表现出以下三个方面的问题：
1、 部分学生不能正确作出运动后的相应图形，解题也就无从谈起，如翻折例题2与旋转例题2。一是进一步加深学生对平移、翻折、旋转的意义及其相关性质的理解。比如可以请孩子先作出一个点关于一条线的对称点，再作出一条线段关于已知直线的对称线段，进而请学生考虑一个三角形关于某条直线翻折后得到的图形，拆分成他们可以完成的小步骤，帮助学生化解难点；二是在教学过程中应多创造一些动手作图的机会，让学生仔细分析题意,识别图形,经历作图的每一步,体验感知知识的形成过程,进而不断增强学生的作图意识和识图能力,将外部的几何知识有效内化到孩子们自身的知识结构中,形成自己的解题方法与思路。
2、 当一个图形线条较多、局部图形重叠遮盖时，学生观察图形有很大的困难,难以识别、选取基本结构解决问题，如旋转中的例题2。由于不是常规的绕着三角形的顶点转动，同学们忽视了PC与PF这对旋转前后的对应线段隐含的等量关系从而影响了问题的解决。在课堂教学中要留出足够的时间让学生养成观察图形、分析图形、运用图形的习惯与能力，引导学生归纳整理常见的基本结构，形成知识的系统化。
3、 对于运动落点不唯一的问题学生漏解情况较多，如翻折例题1与旋转例题1。平面几何的研究对象主要是图形之间的数量关系和位置关系，不同位置往往决定了不同的数量，需加强对学生不遗不漏、全面考虑问题的引导，在实践中逐渐内化分类讨论的数学思想方法。
今年的7月6日是中考成绩公布的日子，刚过六点，一条条短信涌进我的手机——150、96、133、117、104、142……平均分121.6让我自己也感到惊讶!想想最初的着急上火喉咙响、疲于救火心无力，这何尝不也是我的成长！
爱因斯坦曾经说过:“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹。这个逻辑体系如此精密地一步一步推进,以致它的每一个命题都是绝对不容置疑的——我这里说的是欧几里德几何。”日本著名的教育家米山国藏这样提到：“成功的数学教育，应当是数学的精神、思想方法深深地永远地铭刻在学生的头脑里，长久地活跃于他们日常的业务中，虽然那时，数学的知识可能已经淡忘了。”始终保持好奇心探究欲、用科学的方法求真务实、面对困难坚韧不拔、乐观自信地与大家携手共进……这些才是学习真正的意义所在吧。当孩子们在学习中遇到困难挫折时，如果每一位老师能尽自己所能的因材施教、搭设扶梯助他们小步稳走，一定会有越来越多的同学们有机会品味数学的独特之美、感受发现的快乐、看到更为出色的自己！让每一个40分钟更有趣、更有效、更有益，我们一起努力！
2017.7.16
上海市复旦初级中学 刘琳
参考文献：
1、《鲍建生周超数学学习心理基础与过程》上海教育出版社
2、《田甜新课程背景下初中几何学习困难的研究》云南师范大学
3、《九年级学生相似形概念的范希尔几何水平的调查》